Реализация парного трейдинга. Оценка hedge ratio, торговые правила и бэктестинг.

Пусть $\{X_t\}$ и $\{Y_t\}$ — два ценовых ряда порядка $I(1)$. Нам нужно оценить коэффициент $\beta$ в связи

Тогда эмпирический спред записывается как $\hat{Z}_t = Y_t - \hat{\alpha} - \hat{\beta} X_t$, и именно на нём строятся сигналы.

Двухшаговая процедура Энгла — Грейнджера использует оценку

которая минимизирует сумму квадратов ошибок по оси Y. Метод прост и популярен, но асимметричен и фактически предполагает отсутствие ошибок измерения в X, что для рыночных данных редко верно.

TLS минимизирует перпендикулярное расстояние до регрессионной прямой:

Подход симметричен по X и Y и лучше отражает ситуацию, когда шум присутствует в обоих рядах.

В подходе Йохансена коинтеграционный вектор получается как часть VECM-оценки. Для пары активов это решается как задача на собственные векторы, а для многомерного случая сразу даёт аппарат для $n > 2$ активов.

Идея Box-Tiao — искать такую линейную комбинацию, которая обладает максимальной предсказуемостью и, как следствие, наилучшей mean reversion-структурой:

Если предположить, что hedge ratio сам медленно дрейфует во времени, можно описать его как скрытое состояние:

Тогда рекурсия Калмана даёт онлайн-оценку $\hat{\beta}_{t \mid t}$, автоматически балансируя между гладкостью и скоростью реакции.

Можно выбирать коэффициент так, чтобы спред имел минимальный период полураспада:

Это напрямую оптимизирует торгово-релевантную величину, но может быть нестабильным около unit-root режимов.

Альтернативно можно искать $\beta$, который делает ADF-статистику спреда минимальной:

Стандартный сигнал строится на rolling z-score спреда:

Вход в long spread происходит при достаточно отрицательном $z_t$, вход в short spread — при достаточно положительном. Это просто и удобно, но сами пороги не являются фундаментальной константой.

При модели OU можно аналитически искать пороги входа и выхода, максимизирующие ожидаемую доходность на единицу времени:

Это переводит выбор порогов из эвристики в задачу численной оптимизации по параметрам процесса и издержкам.

Вместо дискретного режима in/out можно допустить непрерывное позиционирование $\pi_t \in [-1, 1]$ как функцию отклонения спреда от равновесия. Это даёт более плавное управление риском и лучше подходит для систем, где сигнал должен масштабировать экспозицию, а не просто включать и выключать её.

Даже хорошая модель выигрывает от простых защитных слоёв: принудочный выход через $k \cdot \tau_{1/2}$ баров, stop-loss, take-profit и ограничение времени удержания.

Если оценка $\hat{\beta}$ меняется скачком, спред тоже получает искусственный разрыв. Тогда rolling z-score временно смешивает две разные распределительные структуры и может породить ложные сигналы.

Типичные решения:

1. непрерывная онлайн-переоценка, например через Kalman;
2. статическая оценка на весь период;
3. периодическая переоценка с принятием разрыва;
4. периодическая переоценка с явной корректировкой спреда.

Любая величина, используемая для сигнала в момент времени t, должна зависеть только от данных, доступных к этому моменту. Подстановка будущей оценки $\hat{\beta}$ в прошлые сделки делает весь бэктест недействительным.

Настраиваемые стратегии должны отделять обучение от проверки: обучающее окно, затем следующий за ним тестовый отрезок, потом сдвиг и повторение процедуры. Только агрегированный out-of-sample результат по этим тестовым окнам можно считать приемлемой оценкой.

Для зависимых финансовых рядов наивный iid-bootstrap неприменим. Обычно используют block bootstrap или stationary bootstrap, чтобы сохранять локальную автокорреляционную структуру. Дополнительно полезны Monte Carlo сценарии под явной DGP-моделью.

Probabilistic Sharpe Ratio отвечает на вопрос, какова вероятность, что истинный Sharpe превосходит заданный порог. Deflated Sharpe Ratio корректирует этот вывод на множественные испытания. PBO оценивает риск того, что лучшая конфигурация на бэктесте является артефактом перебора.

Для pairs trading критично моделировать bid-ask spread, slippage, комиссии биржи, funding, задержку исполнения и все venue-specific издержки. Бэктест по midpoint без этих компонентов обычно сильно завышает качество стратегии.

Вселенная активов должна быть point-in-time. Нельзя строить исторический тест только по тем инструментам, которые дожили до сегодняшнего дня, и нельзя выбирать пары на основании информации из будущего.

Если просеивать большое число кандидатов через коинтеграционный тест без поправки на multiple comparisons, часть прошедших пар почти наверняка окажется ложноположительной. Поэтому нужны Bonferroni, Holm-Bonferroni или FDR-подходы вроде Benjamini-Hochberg.

Хороший отчёт по бэктесту обязан включать:

1. описание point-in-time вселенной;
2. полную спецификацию метода и cost model;
3. walk-forward схему и процедуру настройки параметров;
4. out-of-sample метрики качества и риск-метрики;
5. робастность к ресэмплингу и чувствительность к параметрам;
6. разложение PnL по источникам издержек.

Отчёты без out-of-sample проверки и без раскрытия модели исполнения не стоит интерпретировать как свидетельство deployable edge.