Hedgicore logoHEDGICORE
← Назад к исследованиям

ИССЛЕДОВАНИЕ · V1.0

Статистический арбитраж. Техническое руководство.

Стационарность, коинтеграция, VECM, OU-процессы, пять семейств методов и особенности крипторынка.

Bonton AI, Hedgicore Research·23 мая 2026 г.·25 мин чтения

АННОТАЦИЯ

Статистический арбитраж — это класс количественных стратегий, которые пытаются извлекать доход из относительных перекосов цен между инструментами, опираясь на статистические модели их совместной динамики. В отличие от классического арбитража, здесь нет безрискового детерминированного расхождения: стратегия принимает рыночный риск и зависит от того, сохранится ли статистическая связь вне обучающей выборки.

Этот документ даёт техническую основу подхода. В §2 разбираются математические предпосылки, в §3 — пять академических семейств методов, в §4 — оценка коинтеграционного коэффициента, в §5 — бэктест и валидация, в §6 — многoактивные расширения, а в §7 — специфика криптовалютных бессрочных фьючерсов.

Практическое продолжение с торговыми правилами и построением бэктеста находится в документе «Реализация парного трейдинга».

§1

Введение

Современный статистический арбитраж вырос из рыночно-нейтральных стратегий 1980-х годов и получил академическую форму после работ по коинтеграции Грейнджера и Энгла. Базовая идея проста: отдельные цены могут быть нестационарны, но их корректная линейная комбинация способна иметь устойчивое среднее, к которому она возвращается.

Именно это mean reversion в спреде и эксплуатирует парный трейдинг. Для практической реализации важны не только статистические тесты, но и выбор hedge ratio, правила входа и выхода, а также корректная валидация бэктеста.

§2

Математические основы

§2.1 Стационарность

Стохастический процесс {Xt}\{X_t\} называется стационарным в слабом смысле, если его первые два момента не зависят от времени:

E[Xt]=μ\mathbb{E}[X_t] = \mu
Var⁡(Xt)=σ2\operatorname{Var}(X_t) = \sigma^2
Cov⁡(Xt,Xt+k)=γ(k)\operatorname{Cov}(X_t, X_{t+k}) = \gamma(k)

Для stat arb этого достаточно: процесс имеет долгосрочное среднее, вокруг которого колеблется. Именно поэтому нам нужна не просто визуально похожая динамика цен, а статистически подтверждённая стационарность спреда.

§2.2 Порядок интегрирования

Процесс XtX_t является I(d)I(d), если его d-я разность стационарна. Большинство ценовых рядов на финансовых рынках разумно приближать как I(1)I(1): уровни цен нестационарны, а доходности ближе к стационарным.

Это важный практический момент: ставка на возврат самой цены к «нормальному уровню» статистически некорректна, если ряд не имеет неизменного среднего.

§2.3 Коинтеграция

Два ряда {Xt}\{X_t\} и {Yt}\{Y_t\}, каждый из которых имеет порядок I(1)I(1), называются коинтегрированными, если существует коэффициент β≠0\beta \neq 0, при котором комбинация

Zt=Yt−βXtZ_t = Y_t - \beta X_t

уже стационарна, то есть Zt∼I(0)Z_t \sim I(0). В прикладном языке β\beta — это hedge ratio, а ZtZ_t — спред.

Экономическая интерпретация состоит в том, что сами цены могут дрейфовать, но относительная стоимость между ними остаётся привязанной к некоторому равновесию.

§2.4 Теорема представления Грейнджера

Если ряды коинтегрированы, система допускает представление через векторную модель коррекции ошибок (VECM):

ΔXt=αX(Yt−1−βXt−1)+∑i=1pγX,iΔXt−i+∑i=1pδX,iΔYt−i+εX,t\Delta X_t = \alpha_X (Y_{t-1} - \beta X_{t-1}) + \sum_{i=1}^{p} \gamma_{X,i} \Delta X_{t-i} + \sum_{i=1}^{p} \delta_{X,i} \Delta Y_{t-i} + \varepsilon_{X,t}
ΔYt=αY(Yt−1−βXt−1)+∑i=1pγY,iΔXt−i+∑i=1pδY,iΔYt−i+εY,t\Delta Y_t = \alpha_Y (Y_{t-1} - \beta X_{t-1}) + \sum_{i=1}^{p} \gamma_{Y,i} \Delta X_{t-i} + \sum_{i=1}^{p} \delta_{Y,i} \Delta Y_{t-i} + \varepsilon_{Y,t}

Слагаемое Yt−1−βXt−1Y_{t-1} - \beta X_{t-1} — это отклонение от равновесия на прошлом шаге. Коэффициенты αX,αY\alpha_X, \alpha_Y задают скорость возврата к нему.

§2.5 Многомерная коинтеграция

Для системы из нескольких активов используется подход Йохансена. В этом случае VECM записывается как

ΔYt=ΠYt−1+∑i=1p−1ΓiΔYt−i+εt\Delta \mathbf{Y}_t = \Pi \mathbf{Y}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_i \Delta \mathbf{Y}_{t-i} + \boldsymbol{\varepsilon}_t

Ранг матрицы Π\Pi равен числу независимых коинтеграционных связей. Это естественный мост от двухактивных пар к multi-leg портфелям.

§2.6 Непрерывновременная модель mean reversion

Спред часто моделируется процессом Орнштейна-Уленбека:

dZt=θ(μ−Zt) dt+σ dWtdZ_t = \theta(\mu - Z_t)\, dt + \sigma\, dW_t

Здесь θ\theta — скорость возврата к среднему,μ\mu — долгосрочное среднее, а σ\sigma — интенсивность шума.

Период полураспада шока равен

τ1/2=ln⁡2θ\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\theta}

В дискретной форме его часто оценивают через AR(1)-аппроксимацию эмпирического спреда:

ΔZt=κ+ϕZt−1+ηt,θ≈−ln⁡(1+ϕ)\Delta Z_t = \kappa + \phi Z_{t-1} + \eta_t, \quad \theta \approx -\ln(1 + \phi)

§2.7 Показатель Херста

Показатель Херста HH описывает долгосрочную память ряда:

  • H<1/2H < 1/2 — антиперсистентность и склонность к возврату к среднему
  • H=1/2H = 1/2 — поведение, близкое к случайному блужданию
  • H>1/2H > 1/2 — персистентность и трендовость

На практике это полезный дополнительный фильтр: ADF-прохождение ещё не гарантирует, что спред действительно удобен для торговли.

§3

Семейства методов

Литературу по pairs trading обычно делят на пять семейств по критерию отбора пар и механике генерации сигналов.

§3.1 Distance method

В классической версии Gatev-Goetzmann-Rouwenhorst активы нормализуются на окне формирования, после чего для каждой пары считается сумма квадратов отклонений траекторий:

SSD(i,j)=∑t∈formation(P~i,t−P~j,t)2\mathrm{SSD}(i, j) = \sum_{t \in \text{formation}} \left( \tilde{P}_{i,t} - \tilde{P}_{j,t} \right)^2

Чем меньше SSD, тем «ближе» пара. Торговля строится на расширении и последующем схождении нормализованных ценовых путей. Метод прост, но со временем его избыточная известность снизила эффективность.

§3.2 Коинтеграционный подход

Здесь вместо геометрической близости используется формальная проверка устойчивой долгосрочной связи. В двухшаговой процедуре Энгла — Грейнджера сначала оценивается регрессия

Yt=α+βXt+εtY_t = \alpha + \beta X_t + \varepsilon_t

затем тестируется стационарность остатков. Подход Йохансена делает то же на уровне всей системы и позволяет работать с n>2n > 2 активами.

§3.3 Подход временных рядов

Вместо теста коинтеграции можно сразу моделировать сам спред как mean-reverting процесс, чаще всего OU, и выводить торговые правила из его параметров. Это открывает путь к аналитическим порогам входа и выхода, а также к задачам оптимального контроля.

§3.4 Подход на копулах

Копулы позволяют моделировать зависимость между активами без жёсткого требования линейности. По теореме Склара совместное распределение раскладывается как

F(x,y)=C(FX(x),FY(y))F(x, y) = C(F_X(x), F_Y(y))

и торговый сигнал строится через условную вероятность в этом совместном законе, а не через линейный спред.

§3.5 Подходы с машинным обучением

Машинное обучение в stat arb чаще всего полезно не для самих правил входа, а для отбора кандидатов: снижение размерности, кластеризация, фильтрация по структуре доходностей и последующая проверка коинтеграции. Полностью data-driven прогнозирование спреда обычно менее устойчиво вне выборки, чем структурные модели.

§4

Оценка hedge ratio

Коэффициент β\beta — центральный технический параметр коинтеграционного подхода. От его способа оценки зависит форма спреда, его видимая стационарность, скорость возврата к среднему и устойчивость к выбросам.

Подробный разбор шести распространённых оценок вынесен в отдельный документ «Реализация парного трейдинга», §2.

§5

Бэктест и валидация

Бэктест в stat arb не должен ограничиваться красивой equity curve. Нужны walk-forward разбиения, робастность к ресэмплингу, оценка selection bias и реалистичная модель издержек. Метрики вроде PSR, DSR и PBO полезны именно потому, что помогают отделить статистический шум от воспроизводимого сигнала.

§6

Многoактивные расширения

Stat arb естественно расширяется от пар к корзинам активов. В этом случае торгуется линейная комбинация

Pt=∑i=1nwiYi,tP_t = \sum_{i=1}^{n} w_i Y_{i,t}

где вектор весов выбирается так, чтобы портфель обладал желаемой формой mean reversion. На практике возникают задачи sparse cointegration, контроля оборота и ограничения транзакционных издержек.

§7

Специфика криптовалютных рынков

Крипто-перпетуалы отличаются от классического equity-контекста по нескольким ключевым параметрам: торги идут 24/7, режимы рынка меняются быстрее, funding payments напрямую влияют на PnL, ликвидность между мажорами и альтами асимметрична, а кросс-биржевые инструменты несут отдельный слой venue-specific риска.

Из этого следует, что календарь переоценки, горизонт бэктеста, granularity баров и модель исполнения нельзя механически переносить из американских акций в крипту.

ССЫЛКИ

Цитируемые работы

  1. Ankerst, M., Breunig, M.M., Kriegel, H.-P., Sander, J. (1999). OPTICS: ordering points to identify the clustering structure. Proceedings of the 1999 ACM SIGMOD International Conference on Management of Data, 49 to 60.
  2. Avellaneda, M., Lee, J.H. (2010). Statistical arbitrage in the U.S. equities market. Quantitative Finance 10(7), 761 to 782.
  3. Bailey, D.H., Borwein, J.M., Lopez de Prado, M., Zhu, Q.J. (2014). Pseudo-mathematics and financial charlatanism. The effects of backtest overfitting on out-of-sample performance. Notices of the American Mathematical Society 61(5), 458 to 471.
  4. Bailey, D.H., Borwein, J.M., Lopez de Prado, M., Zhu, Q.J. (2017). The probability of backtest overfitting. Journal of Computational Finance 20(4), 39 to 69.
  5. Bailey, D.H., Lopez de Prado, M. (2012). The Sharpe ratio efficient frontier. Journal of Risk 15(2), 3 to 44.
  6. Bailey, D.H., Lopez de Prado, M. (2014). The deflated Sharpe ratio. Correcting for selection bias, backtest overfitting and non-normality. Journal of Portfolio Management 40(5), 94 to 107.
  7. Bedford, T., Cooke, R.M. (2002). Vines. A new graphical model for dependent random variables. Annals of Statistics 30(4), 1031 to 1068.
  8. Bertram, W.K. (2010). Analytic solutions for optimal statistical arbitrage trading. Physica A 389(11), 2234 to 2243.
  9. Box, G.E.P., Tiao, G.C. (1977). A canonical analysis of multiple time series. Biometrika 64(2), 355 to 365.
  10. Chan, E. (2013). Algorithmic Trading. Winning Strategies and Their Rationale. John Wiley & Sons.
  11. Chen, X., Fan, Y. (2006). Estimation and model selection of semiparametric copula-based multivariate dynamic models under copula misspecification. Journal of Econometrics 135(1-2), 125 to 154.
  12. Cox, J.C., Ingersoll, J.E., Ross, S.A. (1985). A theory of the term structure of interest rates. Econometrica 53(2), 385 to 407.
  13. Cuturi, M., d Aspremont, A. (2013). Mean reversion with a variance threshold. Proceedings of the 30th International Conference on Machine Learning (ICML), 271 to 279.
  14. d Aspremont, A. (2011). Identifying small mean-reverting portfolios. Quantitative Finance 11(3), 351 to 364.
  15. Dickey, D.A., Fuller, W.A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association 74(366a), 427 to 431.
  16. Do, B., Faff, R. (2010). Does simple pairs trading still work? Financial Analysts Journal 66(4), 83 to 95.
  17. Do, B., Faff, R. (2012). Are pairs trading profits robust to trading costs? Journal of Financial Research 35(2), 261 to 287.
  18. Elliott, R.J., van der Hoek, J., Malcolm, W.P. (2005). Pairs trading. Quantitative Finance 5(3), 271 to 276.
  19. Endres, S., Stübinger, J. (2019). Optimal trading strategies for Lévy-driven Ornstein-Uhlenbeck processes. Applied Economics 51(29), 3153 to 3169.
  20. Engle, R.F., Granger, C.W.J. (1987). Co-integration and error correction. Representation, estimation and testing. Econometrica 55(2), 251 to 276.
  21. Engle, R.F., Yoo, B.S. (1987). Forecasting and testing in co-integrated systems. Journal of Econometrics 35(1), 143 to 159.
  22. Ester, M., Kriegel, H.-P., Sander, J., Xu, X. (1996). A density-based algorithm for discovering clusters in large spatial databases with noise. Proceedings of the Second International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD), 226 to 231.
  23. Fil, M., Kristoufek, L. (2020). Pairs trading in cryptocurrency markets. IEEE Access 8, 172644 to 172651.
  24. Fischer, T., Krauss, C. (2018). Deep learning with long short-term memory networks for financial market predictions. European Journal of Operational Research 270(2), 654 to 669.
  25. Galenko, A., Popova, E., Popova, I. (2012). Trading in the presence of cointegration. Journal of Alternative Investments 15(1), 85 to 97.
  26. Gatev, E., Goetzmann, W.N., Rouwenhorst, K.G. (2006). Pairs trading. Performance of a relative-value arbitrage rule. Review of Financial Studies 19(3), 797 to 827.
  27. Genest, C., Rivest, L.-P. (1993). Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas. Journal of the American Statistical Association 88(423), 1034 to 1043.
  28. Granger, C.W.J. (1981). Some properties of time series data and their use in econometric model specification. Journal of Econometrics 16(1), 121 to 130.
  29. Hurst, H.E. (1951). Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 770 to 808.
  30. Johansen, S. (1988). Statistical analysis of cointegration vectors. Journal of Economic Dynamics and Control 12(2-3), 231 to 254.
  31. Johansen, S. (1991). Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models. Econometrica 59(6), 1551 to 1580.
  32. Johansen, S., Juselius, K. (1990). Maximum likelihood estimation and inference on cointegration with applications to the demand for money. Oxford Bulletin of Economics and Statistics 52(2), 169 to 210.
  33. Jurek, J.W. (2007). Optimal long-run reversal trading. Working paper, Princeton University.
  34. Kalman, R.E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of Basic Engineering 82(1), 35 to 45.
  35. Krauss, C. (2017). Statistical arbitrage pairs trading strategies. Review and outlook. Journal of Economic Surveys 31(2), 513 to 545.
  36. Krauss, C., Do, X.A., Huck, N. (2017). Deep neural networks, gradient-boosted trees, random forests. Statistical arbitrage on the S&P 500. European Journal of Operational Research 259(2), 689 to 702.
  37. Krauss, C., Stübinger, J. (2017). Non-linear dependence modeling with bivariate copulas. Statistical arbitrage pairs trading on the S&P 100. Applied Economics 49(52), 5352 to 5369.
  38. Künsch, H.R. (1989). The jackknife and the bootstrap for general stationary observations. Annals of Statistics 17(3), 1217 to 1241.
  39. Kwiatkowski, D., Phillips, P.C.B., Schmidt, P., Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics 54(1-3), 159 to 178.
  40. Liew, R.Q., Wu, Y. (2013). Pairs trading. A copula approach. Journal of Derivatives & Hedge Funds 19(1), 12 to 30.
  41. Lintilhac, P.S., Tourin, A. (2017). Model-based pairs trading in the bitcoin markets. Quantitative Finance 17(5), 703 to 716.
  42. Lopez de Prado, M. (2018). Advances in Financial Machine Learning. John Wiley & Sons.
  43. MacKinnon, J.G. (1991). Critical values for cointegration tests. In R.F. Engle and C.W.J. Granger, eds., Long-Run Economic Relationships, Oxford University Press, 267 to 276.
  44. MacKinnon, J.G. (2010). Critical values for cointegration tests. Queen s Economics Department Working Paper No. 1227.
  45. Mandelbrot, B.B., Van Ness, J.W. (1968). Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SIAM Review 10(4), 422 to 437.
  46. Mudchanatongsuk, S., Primbs, J.A., Wong, W. (2008). Optimal pairs trading. A stochastic control approach. Proceedings of the 2008 American Control Conference, 1035 to 1039.
  47. Osterwald-Lenum, M. (1992). A note with quantiles of the asymptotic distribution of the maximum likelihood cointegration rank test statistics. Oxford Bulletin of Economics and Statistics 54(3), 461 to 472.
  48. Peng, C.-K., Buldyrev, S.V., Havlin, S., Simons, M., Stanley, H.E., Goldberger, A.L. (1994). Mosaic organization of DNA nucleotides. Physical Review E 49(2), 1685 to 1689.
  49. Phillips, P.C.B., Perron, P. (1988). Testing for a unit root in time series regression. Biometrika 75(2), 335 to 346.
  50. Pole, A. (2007). Statistical Arbitrage. Algorithmic Trading Insights and Techniques. John Wiley & Sons.
  51. Politis, D.N., Romano, J.P. (1994). The stationary bootstrap. Journal of the American Statistical Association 89(428), 1303 to 1313.
  52. Royal Swedish Academy of Sciences (2003). The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2003. Press release, 8 October 2003.
  53. Said, S.E., Dickey, D.A. (1984). Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika 71(3), 599 to 607.
  54. Sarmento, S.M., Horta, N. (2020). A Machine Learning based Pairs Trading Investment Strategy. Springer.
  55. Sklar, A. (1959). Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publications de l Institut de Statistique de l Université de Paris 8, 229 to 231.
  56. Stander, Y., Marais, D., Botha, I. (2013). Trading strategies with copulas. Journal of Economic and Financial Sciences 6(1), 83 to 107.
  57. Uhlenbeck, G.E., Ornstein, L.S. (1930). On the theory of the Brownian motion. Physical Review 36(5), 823 to 841.
  58. Vidyamurthy, G. (2004). Pairs Trading. Quantitative Methods and Analysis. John Wiley & Sons.
  59. Zeng, Z., Lee, C.G. (2014). Pairs trading. Optimal thresholds and profitability. Quantitative Finance 14(11), 1881 to 1893.

Цитирование. Bonton AI, Hedgicore Research (2026). Статистический арбитраж. Техническое руководство.. v1.0. hedgicore.com/research

Hedgicore — платформа аналитики пар в реальном времени на базе Hedgicore Engine, созданная командой Bonton AI.

Ограничение ответственности: Hedgicore — аналитическая платформа. Она не исполняет сделки и не даёт инвестиционных рекомендаций. Любая торговля связана с риском убытков.