Half-life показывает, как долго пара остаётся интересной

Если вы торгуете пары и не знаете half-life своего спреда, вы не знаете, когда из сделки нужно выходить.

Half-life — одна из самых полезных величин в pairs trading, о которой при этом почти не говорят. Она показывает ожидаемое время, за которое шок в спреде вернётся обратно к равновесию наполовину. Если half-life вашего BTC/ETH спреда — 12 часов, а вы держите позицию четыре дня, то вы уже давно торгуете не ту mean reversion, на которую входили.

В этой статье мы разберём, что такое half-life, как считать его по собственным данным и как использовать для правил удержания позиции.

Mean-reverting спред часто моделируют как процесс Ornstein-Uhlenbeck:

dZ(t) = θ × (μ − Z(t)) × dt + σ × dW(t)

По-человечески это означает следующее: спред Z двигается вокруг долгосрочного среднего μ. Чем дальше он уходит от среднего, тем сильнее тянется обратно. Сила этого притяжения — θ. Случайный шум с размером σ добавляет траектории шероховатость.

Именно θ определяет скорость возврата. Чем больше θ, тем быстрее возврат. Из θ и вычисляется half-life:

τ ≈ ln(2) / θ

После одного half-life половина шока исчезает. После двух — уже три четверти. Затухание геометрическое.

Скорее всего, у вас нет непрерывного времени, у вас есть бары. Тогда можно подогнать дискретную AR(1) модель на эмпирическом спреде:

ΔZ(t) = κ + φ × Z(t−1) + η(t)

Тогда half-life в дискретной форме считается так:

τ = −ln(2) / ln(1 + φ)

Одна AR(1) оценка даёт число в тех же единицах, что и ваши бары. Если у вас 5-минутные бары и получился half-life 24, значит спред возвращается наполовину примерно за два часа. Если φ близок к нулю, спред близок к случайному блужданию, а half-life становится огромным. Это признак того, что пара на самом деле не пригодна для торговли.

Стандартный совет из литературы: горизонт удержания должен составлять от одного до нескольких half-life. На практике часто используют множитель от 2 до 4.

Если half-life равен 12 часам и вы используете множитель 3, то любая позиция, которая всё ещё открыта через 36 часов, закрывается независимо от текущего z-score. Это half-life timeout. Он не даёт капиталу застревать в сделках, где ожидаемая mean reversion так и не материализовалась.

Такие тайм-ауты естественно сочетаются с порогами z-score и с правилами оптимальной остановки. Даже теоретически оптимальный порог входа зависит от того, насколько быстро возвращается ваш спред и сколько стоит вход и выход из сделки.

У акций half-life часто измеряется днями и неделями. У криптопар он обычно короче: от часов до дней на крупных парах и иногда ещё быстрее на активных альткоинах. Это означает, что правила удержания, позаимствованные из equity-литературы, нельзя переносить в крипту без адаптации.

Более того, сам half-life тоже нестационарен. Число, которое было корректным на прошлой неделе, может уже не подходить к текущему режиму. Платформа, которая использует устаревший half-life, торгует с устаревшим горизонтом времени.

Если вы хотите считать по спреду только одно число, считайте half-life. Он показывает, сколько времени остаётся у сделки до того, как она перестанет быть той сделкой, на которую вы рассчитывали.

Формальная математика разобрана в technical guide, а implementation paper объясняет, как half-life сочетается с optimal stopping и risk overlays.

Читать technical guide →